L1 Maths Discrètes 09/10

Exercices de décrassage (à rendre avant la fin de la séance par message sur le forum de la classe).

Exo 1.

Vous trouverez ici un problème de seconde et sa solution par un élève.

a) Relevez toutes les erreurs que vous trouverez dans cette solution en les décrivant aussi précisément que possible.

b) Rédigez un corrigé de ce problème.


Exo 2

Vous trouverez ici un autre problème de seconde, et ci-dessous une "fausse" solution.

a) Relevez toutes les erreurs que vous trouverez dans cette solution en les décrivant aussi précisément que possible.

b) Rédigez un corrigé de ce problème.


Voici la fausse solution:

1) On a p/q = sqrt(2). Comme les deux nombres sont positifs, on peut ´lever au carré et on obtient p^2/q^2=2. Comme q^2 est non nul, on peut multiplier les deux membres par q^2 ce qui donne p^2=2q^2.

2)

a) En examinant les neuf cas, on voit que le chiffre des unités d'un carré ne peut être que dans cette liste : (0, 1, 4, 9, 16).

b) En examinant les neuf cas, on voit que le chiffre des unités de 2q^2 est nécessairement dans la liste liste : (2,4, 6, 8).

3)

a) Démontrons maintenant que p^2 et 2q^2 sont égaux. D'après ce qui précède, la seule possibilité commune pour leur chiffre des unités est 2.

b) Si p^2 se termine par 2 c'est que p se termine par sqrt(2) . Si 2q^2 se termine par 2 alors q^2 se termine par 1 et donc q aussi. La fraction p/q est bien irréductible puisque 1 ne divise pas sqrt(2).

c) En supposant p/q irréductible est égale à sqrt(2), on arrive à la conclusion que le dernier chiffre de p est sqrt(2) ce qui est impossible.


Exo 3

Cherchez sur internet un autre problème de maths du secondaire avec une solution d'élève médiocre, et traitez-la comme dans les deux exos d'avant.

Exo 4

a) Enoncez de mémoire un résultat qu'on vous a démontré dans un cours de maths du premier semestre.

b) Restituez de mémoire sa preuve. A défaut, cherchez-en deux preuves sur internet, et expliquez les différences entre les deux.



André Hirschowitz

Last modified: 02/2010