L1 Maths Discrètes, semaine du 22/02/10

Lire un document (à rendre avant la fin de la séance par message électronique à l'enseignant de la classe).

Toutes les questions sont à 1 point sauf 9, 10 et 17 qui sont sur 2.

1. Ouvrez le cours d'algèbre linéaire de Rafaël Danchin, lisez-y la définition 0.0.1, puis changez-y tous les noms de variables.
   
   
2. Dans cette définition 0.0.1, quel nom ne sert à rien?
   
   
3. Dans le même ordre d'idées, quelle hypothèse y est inutile?
   
   
4. Lisez la remarque suivant 0.0.1, et donnez six exemples de lois internes "bien connues", sur des ensembles variés.
   
   
5. Tapez "loi interne truc" dans Google. Que pensez-vous de la tradition dont parle la remarque?
   
   
6. Lisez les quelques lignes suivantes, et donnez trois exemples de lois internes, sur des ensembles aussi variés que possible, qui ne sont pas commutatives.
   
   
7. Donnez de même trois exemples de lois internes, sur des ensembles aussi variés que possible, qui ne sont pas associatives.
   
   
8. Nos trois lois favorites sur les booléens (et, ou, implique) ont-elles un élément neutre?
   
   
9. Consultez la définition d'élément neutre donnée par Wikipedia. Expliquez la subtile différence avec celle donnée par Danchin, et pourquoi les deux définitions sont équivalentes.
   
   
10. Trouvez l'élément neutre de la loi (x, y) \mapsto x+xy+y sur R. Wikipedia prétend que l'élément neutre ne l'est "que pour la loi considérée". En quoi est-ce inexact? Qu'a-t-on voulu dire?
    
    
11. Vous avez lu sur Wikipedia une définition d'élément neutre à droite ou à gauche. Est-ce que nos trois lois favorites sur les booléens ont un élément neutre à droite? A gauche?
    
    
12. Danchin nous affirme que "l'élément neutre, lorsqu'il existe, est unique". Cette phrase semble ne mentionner aucune variable. Précisez le contexte et la variable que Danchin omet de mentionner.
    
    
13. Dans sa proposition 0.0.2, Danchin récidive en affirmant que "l'inverse, lorsqu'il existe, est unique". Reformulez l'énoncé de façon à préciser la variable omise par Danchin.
    
    
14. Lisez la définition 0.0.3. Donnez une définition raisonnable de loi auto-distributive (à gauche ou à droite). Est-ce que nos trois lois favorites sur les booléens sont auto-distributives à droite ou à gauche?
    
    
15. Revenez à la preuve de 0.0.2 donnée par Danchin. Expliquez d'où sort la première phrase de cette preuve.
    
    
16. Expliquez plus en détail d'où sort l'égalité aTb=aTb'.
    
    
17. Ecrivez une variante de cette preuve qui consiste à appliquer les mêmes "règles" pour réécrire b jusqu'à obtenir b'.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    André Hirschowitz
    
    
    Last modified: 02/2010